NEWTON Y LEIBNIZ DENTRO DEL CÁLCULO INFINITESIMAL
Sir Isaac Newton (25 de diciembre de 1642 JU – 20 de marzo de 1727 JU (4 de enero de 1643 GR – 31 de marzo de 1727 GR)) fue un físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés y sin embargo fue hasta el año de 1711 cuando su libro “De analysi per aequationes numero terminorum infinitas” fue publicado, siendo que lo escribió en 1669.
Gottfried Wilhelm Leibniz, a veces von Leibniz1 (Leipzig, 1 de julio de 1646 –
Hannover, 14 de noviembre de 1716) fue un filósofo, matemático, jurista,
bibliotecario y político alemán, además de que es reconocido como el ultimo
genio universal.
Las aportaciones de Newton y Leibniz resultaron muy trascendentales en todos
los ámbitos de las matemáticas y por ello comparte el crédito de ser
reconocidos como los desarrolladores del cálculo, apoyándose de el para las
distintas áreas de las matemáticas que cada uno manejaba.
Entre ambos realizaron muchas aportaciones principalmente en matemáticas y
física, desarrollando así distintas leyes y estudiando distintas áreas.
Pero ninguno de los dos pudo haber hecho esas aportaciones y estudios sin haber
antes fundamentado el cálculo, ya que como sabemos Newton fue destacado desde
pequeño, siendo demasiado listo y Leibniz siendo reconocido como el último gran
genio universal y aunque también aparecen otros autores como Descartes y
Pascal, fueron finalmente Newton y Leibniz quienes le dieron un mayor
crecimiento al cálculo infinitesimal, que es mejor conocido simplemente como
calculo.
Tan importante es el cálculo en nuestras vidas que casi todo a nuestro
alrededor (por no decir todo) está constituido por el cálculo. En nuestra casa
todos nuestros aparatos electrodomésticos pasaron por la rama del cálculo al
ser construidos y diseñados, los voltajes eléctricos, la óptica y otros
detalles también utilizaron al cálculo infinitesimal así que nadie puede decir
que el cálculo no interviene en nuestra vida cotidiana, no es algo que se queda
formulado en un libro, es algo presente en cada momento.
Y tanta es la importancia de esta rama de las matemáticas que la polémica
continua actualmente, saber quién es el padre del cálculo podría ser un dato
muy importante pero no relevante, lo verdaderamente relevante ya está en
nuestros alrededores como lo mencionaba antes, pero no deja de lado que la
publicación de Leibniz fue escrita después pero publicada antes que la de
Newton, y aunque de maneras distintas incluso en los símbolos, ambos aportaron
las bases del cálculo.
Podemos notar que Leibniz era muy simbólico ya que fue quien utilizo e innovo
el símbolo de la integral que actualmente seguimos ocupando, incluso la “d” de diferenciar
también la innovo él.
Durante la investigación realizada para crear este ensayo también pude notar
que utilizaron ya los rectángulos inscritos y circunscritos así como senos y
cosenos, con esto quiero hacer notar la participación tan grande que tienen
ellos dos, senos y cosenos es de las partes más importantes de la trigonometría
y los rectángulos inscritos y circunscritos en de las partes más importantes
del cálculo integral, y seguir haciendo notar que esto fue postulado en los
siglos XVII Y XVIII.
La grandeza de estas 2 mentes que trabajaron por separado y en épocas distintas
es tan grande que toda la comunidad científica les otorga el honor de ser los
padres del cálculo.
Lo extraño seria que no se les reconociera, seria de verdad irónico que después
de las grades aportaciones que hicieron no fueran reconocidos con tal honor.
Nosotros en la escuela estudiamos y aprendemos el legado que ambos nos dejaron,
un legado capaz de construir de forma muy literal una vida mejor.
También debo ser honesto y reconocer que Leibniz era un personaje al cual
desconocía, y que no es el caso de Newton ya que las aportaciones que realizo
sobre todo a la fisca son muy amplias, de hecho tiene su nombre en los
principales apartados de física, así que este trabajo me ayudo también para
tener una mejor información.
Y desde mi particular punto de vista, las aportaciones de Newton son excelentes
pero están más aplicadas a la física, es de hecho donde todos conocemos su
nombre y sus trabajos. Leibniz por otro lado está más ligado al cálculo, y
aunque comparten créditos por descubrirlos ambos por separado, creo que el
trabajo de Leibniz es más simple y sencillo además de que sus resultados son
excelentes.
Eh trabajado con el binomio de Newton y puedo decir que es complejo, no es
prácticamente lo más sencillo, tiene sus particularidades y ese tipo de cosas
son las que hacen a este físico matemático una de las más grandes mentes.
Es por ello que puedo llegar a la conclusión de que estos dos matemáticos
fueron unas mentes muy brillantes, dedicados a indagar las particularidades de
su entorno, creando una nueva rama en las matemáticas y trascendiendo a la
historia, cosa que solo unos cuantos logran.
Y aunque ambos son considerados como padres del cálculo debemos notar que Newton
lo descubrió primero, pero al mismo tiempo tenemos que decir que los métodos de
Leibniz son más sencillos e igual de efectivos.
Es por todo esto que podemos decir que con este ensayo adquirimos información
que no sabíamos sobre nuestra materia, de forma irónica la estudiamos pero no
conocemos su origen, y aunque el tema con el que más se relacionan es la
integral me parece que este tema lo debimos ver antes, como un antecedente
histórico.
Me resulta gratificante conocer esta información y saber de dónde proviene lo
que aprendo, también diferenciar desde mi punto de vista que matemático es más
eficiente en el cálculo y que de ellos podemos disfrutar incluso de escribir
este ensayo d forma más cómoda, en todo utilizamos las matemáticas, así que no
me cabe duda que este ensayo me dejara vastos conocimientos.
Newton
Sir Isaac Newton (25 de diciembre de 1642 JU – 20 de
marzo de 1727 JU (4 de enero de 1643 GR – 31 de marzo de 1727 GR) fue un
físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés, autor de
los Philosophiae naturalis principia mathematica, más conocidos como los
Principia, donde describió la ley de gravitación universal y estableció las
bases de la mecánica clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus
otros descubrimientos científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de
la luz y la óptica (que se presentan principalmente en su obra Opticks) y el
desarrollo del cálculo matemático.
Newton comparte con Leibniz el crédito por el desarrollo del cálculo integral y
diferencial, que utilizó para formular sus leyes de la física. También
contribuyó en otras áreas de la matemática, desarrollando el teorema del
binomio y las fórmulas de Newton-Cotes.
Entre sus hallazgos científicos se encuentran el descubrimiento de que el espectro
de color que se observa cuando la luz blanca pasa por un prisma es inherente a
esa luz, en lugar de provenir del prisma (como había sido postulado por Roger
Bacon en el siglo XIII); su argumentación sobre la posibilidad de que la luz
estuviera compuesta por partículas; su desarrollo de una ley de convección
térmica, que describe la tasa de enfriamiento de los objetos expuestos al aire;
sus estudios sobre la velocidad del sonido en el aire; y su propuesta de una
teoría sobre el origen de las estrellas. Fue también un pionero de la mecánica
de fluidos, estableciendo una ley sobre la viscosidad.
Newton fue el primero en demostrar que las leyes naturales que gobiernan el
movimiento en la Tierra y las que gobiernan el movimiento de los cuerpos
celestes son las mismas. Es, a menudo, calificado como el científico más grande
de todos los tiempos, y su obra como la culminación de la revolución
científica. El matemático y físico matemático Joseph Louis Lagrange
(1736–1813), dijo que “Newton fue el más grande genio que ha existido y también
el más afortunado dado que sólo se puede encontrar una vez un sistema que rija
el mundo.”
Desarrollo del Cálculo
De 1667 a 1669 emprendió investigaciones sobre óptica y fue elegido fellow del
Trinity College. En 1669 su mentor, Isaac Barrow, renunció a su Cátedra
Lucasiana de matemática, puesto en el que Newton le sucedería hasta 1696. El
mismo año envió a Luis Zeus, por medio de Barrow, su “Analysis per aequationes
número terminorum infinitos”. Para Newton, este manuscrito representa la
introducción a un potente método general, que desarrollaría más tarde: su
cálculo diferencial e integral.
Newton había descubierto los principios de su cálculo diferencial e integral
hacia 1665-1666 y, durante el decenio siguiente, elaboró al menos tres enfoques
diferentes de su nuevo análisis.
Newton y Leibniz protagonizaron una agria polémica sobre la autoría del
desarrollo de esta rama de la matemática. Los historiadores de la ciencia
consideran que ambos desarrollaron el cálculo independientemente, si bien la
notación de Leibniz era mejor y la formulación de Newton se aplicaba mejor a
problemas prácticos. La polémica dividió aún más a los matemáticos británicos y
continentales, sin embargo esta separación no fue tan profunda como para que
Newton y Leibniz dejaran de intercambiar resultados.
Newton abordó el desarrollo del cálculo a partir de la geometría analítica
desarrollando un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas
aplicadas sobre curvas definidas a través de ecuaciones. Newton también buscaba
cómo cuadrar distintas curvas, y la relación entre la cuadratura y la teoría de
tangentes. Después de los estudios de Roberval, Newton se percató de que el
método de tangentes podía utilizarse para obtener las velocidades instantáneas
de una trayectoria conocida. En sus primeras investigaciones Newton lidia
únicamente con problemas geométricos, como encontrar tangentes, curvaturas y
áreas utilizando como base matemática la geometría analítica de Descartes. No
obstante, con el afán de separar su teoría de la de Descartes, comenzó a
trabajar únicamente con las ecuaciones y sus variables sin necesidad de
recurrir al sistema cartesiano.
Después de 1666 Newton abandonó sus trabajos matemáticos sintiéndose interesado
cada vez más por el estudio de la naturaleza y la creación de sus Principia.
LEIBNIZ
Gottfried Wilhelm Leibniz, a veces von Leibniz1
(Leipzig, 1 de julio de 1646 – Hannover, 14 de noviembre de 1716) fue un
filósofo, matemático, jurista, bibliotecario y político alemán.
Fue uno de los grandes pensadores de los siglos XVII y XVIII, y se le reconoce
como “El último genio universal”. Realizó profundas e importantes
contribuciones en las áreas de metafísica, epistemología, lógica, filosofía de
la religión, así como a la matemática, física, geología, jurisprudencia e
historia. Incluso Denis Diderot, el filósofo deísta francés del siglo XVIII,
cuyas opiniones no podrían estar en mayor oposición a las de Leibniz, no podía
evitar sentirse sobrecogido ante sus logros, y escribió en la Enciclopedia:
“Quizás nunca haya un hombre leído tanto, estudiado tanto, meditado más y
escrito más que Leibniz… Lo que ha elaborado sobre el mundo, sobre Dios, la
naturaleza y el alma es de la más sublime elocuencia. Si sus ideas hubiesen
sido expresadas con el olfato de Platón, el filósofo de Leipzig no cedería en
nada al filósofo de Atenas.”2 De hecho, el tono de Diderot es casi de
desesperanza en otra observación, que contiene igualmente mucho de verdad:
“Cuando uno compara sus talentos con los de Leibniz, uno tiene la tentación de
tirar todos sus libros e ir a morir silenciosamente en la oscuridad de algún
rincón olvidado.” La reverencia de Diderot contrasta con los ataques que otro
importante filósofo, Voltaire, lanzaría contra el pensamiento filosófico de Leibniz;
a pesar de reconocer la vastedad de la obra de éste, Voltaire sostenía que en
toda ella no había nada útil que fuera original, ni nada original que no fuera
absurdo y risible.
Ocupa un lugar igualmente importante tanto en la historia de la filosofía como
en la de las matemáticas. Inventó el cálculo infinitesimal, independientemente
de Newton, y su notación es la que se emplea desde entonces. También inventó el
sistema binario, fundamento de virtualmente todas las arquitecturas de las
computadoras actuales. Fue uno de los primeros intelectuales europeos que
reconocieron el valor y la importancia del pensamiento chino y de la China como
potencia desde todos los puntos de vista.
Junto con René Descartes y Baruch Spinoza, es uno de los tres grandes racionalistas
del siglo XVII. Su filosofía se enlaza también con la tradición escolástica y
anticipa la lógica moderna y la filosofía analítica. Leibniz hizo asimismo
contribuciones a la tecnología y anticipó nociones que aparecieron mucho más
tarde en biología, medicina, geología, teoría de la probabilidad, psicología,
ingeniería y ciencias de la información. Sus contribuciones a esta vasta lista
de temas está desperdigada en diarios y en decenas de miles de cartas y
manuscritos no publicados. Hasta el momento, no se ha realizado una edición
completa de sus escritos, y por ello no es posible aún hacer un recuento
integral de sus logros.
Cálculo infinitesimal
La invención del cálculo infinitesimal es atribuida tanto a Leibniz como a
Newton. De acuerdo con los cuadernos de Leibniz, el 11 de noviembre de 1675
tuvo lugar un acontecimiento fundamental, ese día empleó por primera vez el
cálculo integral para encontrar el área bajo la curva de una función y=f(x).
Leibniz introdujo varias notaciones usadas en la actualidad, tal como, por
ejemplo, el signo “integral” ∫, que representa una S alargada, derivado del
latín “summa”, y la letra “d” para referirse a los “diferenciales”, del latín
“differentia”. Esta ingeniosa y sugerente notación para el cálculo es
probablemente su legado matemático más perdurable. Leibniz no publicó nada
acerca de su Calculus hasta 1684.10 La regla del producto del cálculo
diferencial es aún denominada “regla de Leibniz para la derivación de un
producto”. Además, el teorema que dice cuándo y cómo diferenciar bajo el
símbolo integral, se llama la “regla de Leibniz para la derivación de una
integral”.
Desde 1711 hasta su muerte, la vida de Leibniz estuvo emponzoñada con una larga
disputa con John Keill, Newton y otros sobre si había inventado el cálculo
independientemente de Newton, o si meramente había inventado otra notación para
las ideas de Newton.11
Leibniz pasó entonces el resto de su vida tratando de demostrar que no había
plagiado las ideas de Newton.
Actualmente se emplea la notación del cálculo creada por Leibniz, no la de
Newton.
¿Cuáles eran las diferencias existentes en los enfoques de Newton y Leibniz?
Tanto Newton como Leibniz consideraron el cálculo como un nuevo campo matemático independiente tanto de la geometría como del álgebra, en sus conceptos y métodos, y ofrecieron un fundamento algebraico a éstos. Como lo hemos analizado, los métodos infinitesimales antes de Newton y Leibniz, tenían una gigantesca influencia de la geometría. El énfasis puesto ahora en el álgebra era decisivo. De igual manera, tanto Newton como Leibniz redujeron los problemas del cálculo de áreas, segmentos, volúmenes, a procesos de antiderivación. O, puesto de forma general, todos los grandes problemas que dieron origen a la construcción del cálculo fueron resueltos por ambos matemáticos en términos de derivación o integración (antiderivación).
Sin embargo, había diferencias. Mientras que Leibniz usaba los incrementos infinitesimales en la y , y luego estudiaba la relación entre ellos, Newton usaba sus infinitesimales en la derivada misma.
En Newton los infinitesimales estaban asociados directamente al cálculo de velocidades instantáneas (un claro sentido de aplicación física).
En Leibniz el interés no era la aplicación física. De hecho, se podría establecer una correlación entre infinitesimales y "mónadas'', estos últimos entes primarios en la descripción de lo real según la filosofía que aparece en su libro de filosofía (metafísica) Monadología.
El énfasis de Newton era la razón de cambio, mientras que en Leibniz lo era la suma infinita de infinitesimales.
Como hemos visto, fue también relevante la diferencia en el uso de la notación. Mientras que para Leibniz era muy importante, Newton no le prestó mucho cuidado. Tampoco Newton dio mucha atención a la formulación precisa de los algoritmos y reglas usuales del cálculo. En esto, nos repetimos, es probable que la vocación por una búsqueda de reglas generales universales, en Leibniz, fuera un factor para su desarrollo de la forma y la notación.